Odchovanec Paris Saint-Germain působil hned v šesti fotbalových ligách. Sol Bamba nastupoval za týmy z Francie, Skotska, Anglie, Itálie, Turecka a Walesu.
V anglické Premier League zanechal velkou stopu. S Cardiffem postoupil do nejvyšší anglické soutěže a v Leedsu zastával roli kapitána. Za fotbalovou reprezentaci Pobřeží Slonoviny nastoupil k 46 utkání. V roce 2012 se s národním týmem podíval do finále afrického šampionátu.
V roce 2021 za Bambovo působení v Cardiffu byl obránci diagnostikován Non-Hodgkinův lymfom. Bamba podstoupil chemoterapii a vyléčil se. Po úspěšné rekonvalescenci pokračoval v anglickém týmu.
Po ukončení fotbalové kariéry v roce 2023 zastával funkci asistenta trenéra v Cardiffu. Poté se stal technickým ředitelem druholigového tureckého klubu Adanasporu.
„Náš technický ředitel Souleymane Bamba, který včera onemocněl před zápasem s Manisa Football Club, byl převezen do univerzitní nemocnice Manisa Celal Bayar a bohužel tam prohrál svůj boj o život. Vyjadřujeme soustrast jeho rodině," zní v prohlášení tureckého klubu.